Das allgemeine Dreieck
(von Bernhard Tergan; der Autor ist Leiter des Brammer Instituts für pädagogische Innovation)

Summary: The concept of the general triangle is introduced, the general triangle and its most important properties arc described. This concept is a valuable aid for the teaching of geometry.

Nach dem Laumeschen Spezialisierungsprinzip neigt der Lernende dazu, abstrakte Gesetzmäßigkeiten an konkreten Beispielen festzumachen und im Bedarfsfalle anhand der Beispiele zu rekonstruieren. Kühnhackl und Schloder weisen darauf hin, daß der Lernerfolg, nämlich die Sicherheit, mit der die allgemeine Regel reproduziert wird, wesentlich von der Art des kognifizierten Beispiels abhängt. Untersuchungen an Primarstufenlehrern haben gezeigt, daß eine formale Gesetzmäßigkeit oft besser behalten wird als die ihr zugrundeliegenden Voraussetzungen: Der Satz von Pythagoras und der von der Winkelsumme im Dreieck werden leichter wiedergegeben als die Tatsache, daß ersterer nur für rechtwinklige, letzterer hingegen für alle Dreiecke gilt.

In dieser Sicht scheint uns eine Untersuchung guter Beispiele dringend erforderlich, und dieser Aufsatz soll ein erster Schritt dazu sein. Er behandelt eine Situation, in der gute Beispiele besonders schwer zu finden und dabei gleichwohl außerordentlich wichtig sind, nämlich die Dreieckslehre in der elementarcn Geometrie (vergl. auch das obige Beispiel!). Jeder, der einmal Elementargeomctrie gelehrt hat, weiß um folgende Schwierigkeit: Man möchte einen Sachverhalt an einem spitzwinkligen Dreieck demonstrieren, zeichnet ein solches an die Taflel und stellt fest, daß man entweder ein rechtwinkliges oder ein gleichschenkliges Dreieck gezeichnet hat. Eben das hat man vermeiden wollen, damit nicht die Lernenden eine im Sinne des Laumeschen Prinzips zu enge Spezialisierung treffen.

Der Frage, ob es überhaupt möglich ist, ein Dreieck anzuzeichnen, welches weder rechtwinklig noch gleichschenklig ist, scheint bisher nicht nachgegangen worden zu sein, wohl weil diese Frage dem Mathematiker lächerlich erscheint: Natürlich ist es leicht, ein solches Dreieck anzugeben. Die Praxis des Unterrichts zeigt aber, daß diese Antwort wirklichkeitsfremd ist:

Ein Dreieck mit den Winkeln 89°, 45°, 46° ist für den Unterricht nicht besser als ein gleichschenklig-rechtwinkliges. Es kommt für das Spezialisierungsprinzip nicht darauf an, ob das an die Tafel gezeichnete Dreieck wirklich rechtwinklig oder gleichschenklig ist, wesentlich ist, ob es vom Lernenden als rechtwinklig bzw. gleichschenklig empfunden wird. Darin liegt der oft übersehene Schlüssel zum guten Beispiel; wir wollen daher ein spitzwinkliges Dreieck im folgenden ein allgemeines Dreieck nennen, wenn es von einem befriedigend großen Anteil der Lernenden weder für rechtwinklig noch für gleichschenklig gehalten wird.

Zunächst gilt es also zu bestimmen, wann zwei Winkel in der Empfindung des Lernenden identifiziert werden. Dankenswerterweise hat Herr OStDir. Dr. Schrulle vom Chlodwig-Poth-Gymnasium in Bramme diesen Vorschlag aufgegriffen (seine Ergebnisse liegen in Kürze zur Veröffentlichung vor); einer seiner Studienreferendare hat in einem Feldversuch mit den Schülern der Klasse l1d des genannten Gymnasiums die Unterscheidungsfähigkeit von Schülern bezüglich ebener Winkel untersucht.

Dazu wurden den Schülern Winkelpaare vorgelegt, von denen sie spontan entscheiden sollten, ob es sich um gleiche oder verschiedene Winkel handelt. Die Ergebnisse sind in nachfolgender Tabelle dargestellt.

 

Zeichnet man diese Zahlen in einer Graphik auf (s. Treppenkurve), so erkennt man, daß die Werte normalverteilt liegen, und man kann die Standardabweichung sigma zu 5.77 berechnen.

                                     

Eine Faustregel der Statistik besagt nun, daß weniger als 1% der Fälle um 2,6sigma oder mehr vom Mittelwert abweichen, Wir dürfen also davon ausgehen, daß wenigstens 99% aller Schüller (und das halten wir sehr wohl für einen befriedigend hohen Anteil!) zwei Winkel als verschieden erkennen, wenn diese sich um 15° oder mehr unterscheiden. Die Zahl 99% mag willkürlich gegriffen erscheinen, wir werden aber später sehen, daß aus ganz anderen Gründen ein höheres Signifikanzniveau nicht erreicht werden kann.

Wir wissen nun also genauer, wie wir das allgemeine Dreieck zu definieren haben: Ein spitzwinkliges Dreieck ist allgemein, wenn sich jeder seiner Winkel um wenigstens 15° vom rechten Winkel unterscheidet und sieh je zwei seiner Winkel voneinander ebenfalb um mindestens 15° unterscheiden.

An dieser Stelle erlebte der Autor eine (und er kann nicht verhehlen: freudige) Überraschung. Betrachten wir nämlich die möglichen Formen des allgemeinen Dreiecks genauer, so ergibt sich folgendes:

Der größte Winkel im allgemeinen Dreieck ist um wenigstens 15° Meiner als der rechte, sein Wert möge also

      alpha = 75° - delta                      für ein delta >= 0

betragen. Der zweitgrößte Winkel, sagen wir beta, ist wiederum um wenigstens 15° kleiner, wir erhalten also

                              beta = 60° - delta - zeta

Der kleinste Winkel hat schließlich mit der gleichen Argumentation die Größe

gamma = 45° - delta – zeta – theta         für ein theta >=0

Berechnet man die Winkelsumme, so findet man

             180°  = alpha + beta + gamma = 75° - delta + 60° - delta – zeta + 45° - delta – zeta – theta
                       =  180° - 3delta – 2zeta - theta

woraus sofort delta = zeta = theta = 0 folgt. Es ergibt sich also folgender Existenz und Eindeutigkeitssatz:

HAUPTSATZ: Es gibt (bis auf Ahnlichkeit) genau ein allgemeines Dreieck;
                     seine Winkel sind 45°, 60° und 75°.

                                              

Fürwahr ein ästhetisch befriedigendes und zugleich angenehmes Ergebnis.

Es ist nunmehr klar, was man zu tun hat, wenn man ein allgemeines Dreieck an die Tafel zeichnen will. Hinzu kommt, daß das allgemeine Dreieck eine Reihe von besonders erfreulichen Eigenschaften hat (der Leser möge selbst versuchen, solche herauszufinden). Eine davon ist, daß die Höhe auf der längsten Seite das allgemeine Dreieck in ein rechtwinkliggleichschenkliges Dreieck und ein Dreieck mit den angenehmen Winkeln 30°, 60°
und 90° zerlegt. Wir werden dies unten noch benutzen.
Der Leser wird nun zu recht fragen, wie er eigentlich das allgemeine Dreieck an die Tafel zeichnen soll. Natürlich ist ja auch das allgemeine Dreieck auf seine Art speziell, und der Schüler darf, im Sinne des Laumeschen Prinzips, das allgemeine Dreieck auf keinen Fall als ein spezielles Dreieck identifizieren. Eine Konstruktion des allgemeinen Dreiecks. etwa mit dem Winkelmesser, muß daher unbedingt vermieden werden, es würde den beabsichtigten Effekt ja ins Gegenteil verkehren. Als Faustregel kann formuliert werden:

FAUSTREGEL: Das allgemeine Dreieck ist nur solange allgemein, wie es unaufflällig gezeichnet wird.

Die Herren Kollegen vom Studienseminar IV in Bramme waren so freundlich, die Verwendung des allgemeinen Dreiecks im Unterricht zu erproben. Von ihren demnächst erscheinenden Ergebnissen sei soviel vorweggenommen:

1) Ein Freihandzeichnen des allgemeinen Dreiecks ist auch hei guter Übung riskant; nur wenige Kollegen brachten es soweit, daß sie das allgemeine Dreieck auf Anhieb richtig zeichnen konnten.

2) Zu guten Ergebnissen führt das unauffällige Markieren der Eckpunkte an der Tafel. Bei Holztafeln genügt das Einschlagen und wieder Entfernen eines dünnen Nagels, bei Glastafeln kann der gleiche Effekt mit einer guten Bohrmaschine erzielt werden (wegen der Glasbruchgefahr sollte man dies vom Hausmeister vornehmen lassen). Diese Methode hat mehrere Nachteile: Erstens ist sie mit einem gewissen Arbeitsaufwand verbunden, und zweitens wurden in einigen Fällen die Markierungen von den Schülern bemerkt und durch das Anbringen weiterer Markierungspunkte konterkariert.Es wurde bereits die Anregung gemacht, Schultafeln in Zukunft schon bei der Produktion mit einer unauffälligen Kennzeichnung des allgemeinen Dreiecks zu versehen.

3) In den meisten Fällen sind solche Vorbereitungen aber überflüssig, nämlich dann, wenn eine Tafel mit Karomuster zur Verfügung steht. In diesem Falle ist es sehr einfach, eine ausreichend gute Näherung des allgemeinen Dreiecks anzuzeichnen. Wir machen uns dabei die Tatsache zunutze, daß 4² + 7² = 65, also annähernd gleich 8² ist. Damit erkennt man leicht, daß man auf folgende Weise eine gute Annäherung an das allgemeine Dreieck erhalten kann:

                                                                 

Man zeichne die Grundseite 11 Einheiten lang, errichte dann die Höhe ber der Grundseite so, daß sie die  Grundseite 4:7 teilt. Die Höhe wird 7 Einheiten lang gezeichnet. Man sieht sofort und verifiziert rechnerisch, daß dieses Dreieck nahezu exakt das allgemeine Dreieck darstellt. Diese Näherung hat den Vorteil, daß auch die anderen Seiten nahezu ganzzahlige Länge haben: Man erhält neben 11 die Werte 10 und 8 Einheiten. Der Flächeninhalt mit ca. 38,5 Quadrateinheiten wirkt auf die Schüler glaubwürdig allgemein. Der Autor ist der Ansicht, daß das  allgemeine Dreick in das Repertoire jedes Geometers gehört. Er ist für Erfahrungsberichte aus der Anwendungspraxis, aber auch für den Hinweis auf weitere Eigenschaften dieses mathematischen Objekts dankbar.

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